Question

已知函数f(x)=ax²+x

已知函数f(x)=ax²+x，（a∈R且a≠0）
（1） 对于任意实数x1,x2,比较1/2[f(x1)+f(x2)]与f((x1+x2)/2)的大小
（2）若x∈[0,1]时，有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围

Answer 1

把x1,x2代入解析式
(f(x1)+f(x2))/2=(ax1^2+x1+ax2^2+x2)/2=a(x1^2+x2^2)/2+(x1+x2)/2
f((x1+x2)/2)=a(x1+x2)/2)^2+(x1+x2)/2=a(x1^2+x2^2+2*x1*x2)/4+(x1+x2)/2
上下两式相减
a(x1^2+x2^2)/4-x1x2/2=a(x1-x2)^2/4=a((x1-x2)/2)^2
当 a>0 时，前式>后式
当a<0时，前式<后式

分别讨论各种情况

一、当a<0时，开口向下
对称轴 -1/(2a) >0

(1)当-1/2a ≥1 即 a≥ -1/2时
f(x)在[0,1]单调递增
f(x) ∈[0,a+1]
-1/2 ≤ a <0
满足 |f(x)| ≤ 1

(2)当1/2 < -1/(2a) <1 即 -1< a< - 1/2时
f(x) ∈[0,f(1/2) ] 即 [0,a/4+1/2]
a/4 + 1/2 ≤ 1 成立，满足|f(x)| ≤ 1

(3) 当 0< -1/(2a) ≤ 1/2 即 a≤ -1时
f(1) ≤ f(x) ≤ f(1/2)
即 a+1 ≤ f(x) ≤ a/4 + 1/2
则 a+1 ≥ -1 即 a≥ -2
-2 ≤ a < 0

二、当a>0时，开口向上，且f(x)≥0
所以只需f(x)≤1
ax²+x ≤ 1
a ≤ 1/x² - 1/x = (1/x - 1/2)² - 1/4
0<x≤1
1/x ≥ 1
(1/x - 1/2)² - 1/4 ≥ 0
要使a≤(1/x - 1/2)² - 1/4 恒成立
必须a≤0
与前提a>0矛盾

所以，a 的范围[ -2，0 ]

Answer 2

1/2[f(x1)+f(x2)]-f((x1+x2)/2)
=1/2[ax1²+x1+ax2²+x2]-﹛a[﹙x1+x2﹚／2]²+﹙x1+x2﹚／2﹜
=a[2x1²+2x2²－﹙x1²+x2²+2x1x2﹚]／4
=a﹙x1-x2﹚²／4
∴当a＞0时，1/2[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]，当且仅当x1=x2时取=；
当a＜0时，1/2[f(x1)+f(x2)]≤f[(x1+x2)/2]，当且仅当x1=x2时取=。

若x∈[0,1]时，有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围
ax²+x∈[﹣1,1]，x∈[0,1]
ax²+x+1≥0
ax²+x-1≤0
当x=0时，上二式恒成立
不妨设x≠0，则x∈﹙0,1],1／x≥1
a≥﹣1／x²﹣1／x=﹣﹙1／x+½﹚²＋1／4∈﹙﹣∞,﹣2]
a≤1／x²﹣1／x＝﹙1／x-½﹚²-1／4∈[0,﹢∞﹚
∴a∈[﹣2,0]