Question

线性代数问题：已知记A=(a1,a2,a3,a4),A*是A的伴随矩阵,若齐次方程组AX=0的基础解系为(1,0,-2,0)......

已知a1,a2,a3,a4是4维非0向量，记A=(a1,a2,a3,a4),A*是A的伴随矩阵,若齐次方程组AX=0的基础解系为(1,0,-2,0）^T,则A则A*x=0的基础解系为？

Answer 1

注意到AX=0的基础解系中只有1个元素，故r(A)=3，故a1,a2,a3,a4的极大无关组中向量个数为3.
且有A(1,0,-2,0)^T=0，故a1=2a3
故a1,a2,a4为极大无关组。

还是因为r(A)=3，故r(A*)=1 。
又0=A*A=A*(a1,a2,a3,a4)
故a1,a2,a4是A*x=0的一个基础解系

Answer 2

R(A*)=R(A)=3<4
∴|A|=0
A*A=|A|E=0
A*Ax=0
Ax就是A*x=0的基础解系
即a1-2a3是A*x=0的基础解系