Question

如图，在等腰RT三角形中，P是斜边BC斜边中点以为顶点直角两边分别与边AB,AC交于点E,F，连接EF，

∠EFD绕顶点旋转时（点E不与A,B重合），△EDF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由，若AB=1，试求四边形AEDF的面积。

Answer 1

1、证明：
∵AB＝AC，∠BAC＝90
∴∠B＝∠C＝45
∵D是BC的中点
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC/2＝45（三线合一），AD＝BD＝CD（直角三角形中线特性）
∴∠BAD＝∠C，∠ADF+∠CDF＝90
∵∠EDF＝90
∴∠ADE+∠ADF＝90
∴∠ADE＝∠CDF
∴△ADE≌△CDF （ASA）
∴DE＝DF
∴等腰RT△EDF
2、解：
∵△ADE≌△CDF
∴S△ADE＝S△CDF
∴S四边形AEDF＝S△ADE+S△ADF＝S△CDF+S△ADF＝S△ADC
∵AB＝1
AC=1
∴AD=CD=AC/√2=1/√2
∴S△APC＝AD×CD/2＝AD²/2＝1/4
∴S四边形AEPF＝1/4