Question

设f(x)=lim(n→∞)(x^2n-1+ax^2+bx)/（x^2n）+1是连续函数，求a和b的值。 为什么是1和-1讨论的？

Answer 1

这道题就是求出f(x)的表达式，f(x)的表达式是通过极限形式定义的，因此
这道题就是考查怎么求极限。
当|x|>1时，分子分母同除以x^(2n－1)，此时可以知道分子的极限是1，分母的
极限是x，因此f(x)＝x，|x|>1时。
当|x|<1时，x^(2n－1)和x^(2n)随着n趋于无穷极限是0，因此
f(x)＝ax^2+bx，|x|<1时。
当x＝1时，分子是1+a+b，分母是2，极限是(1+a+b)/2；
类似讨论x＝－1时得到极限是(a－1－b)/2。综上得到
f(x)＝x，当|x|>1时；
f(x)＝ax^2+bx，|x|<1时；
f(1)=(1+a+b)/2，f(－1)=(a－1－b)/2。
利用当x趋于1时，左右极限都必须是f(1)得到a+b＝1；
当x趋于－1时，左右极限必须是f(－1)得到a－b＝－1；
解得a＝0，b＝1；