Question

设∑是由旋转抛物面z=x^2+y^2,平面z=0及平面z=1所围成的区域，求三重积分∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz。

我用三种不同方法解。积分结果不一样，帮我指正下。
由题意可知：x^2+y^2 < z < 1
解法1：
∫∫dxdy∫[1,x^2+y^2](x^2+y^2+z)dz
=∫∫(x^2+y^2+1/2-3/2(x^2+y^2)^2)dxdy
然后用极坐标计算二重积分 结果是π/2

解法2：用z=z(常数)去截取积分区域 0 < z < 1
Dz=∫∫dxdy 是在OXY投影面积=πz
将x^2+y^2=z代入积分式
原式=∫∫∫2zdxdydz
=2∫zdz ∫∫dxdy
=2π∫[0,1]z^2dz =2π/3

解法3：
将x^2+y^2=z代入积分式

原式=2∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz
=2∫∫dxdy ∫[1,x^2+y^2](x^2+y^2)dz
=2∫∫(x^2+y^2-(x^2+y^2)^2)dxdy
在用极坐标求二重积分
结果=π/3

上那个解法是对的？
错的解法为什么错误？帮我指正下。谢谢

Answer 1

第一个是对的！其余两个都不对！
错在：将x^2+y^2=z代入积分式。因为在立体内部x^2+y^2<=z，x^2+y^2=z只是立体的侧边界面。