Question

已知圆C:x²+y²+x-6y+m=0与直线l:x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,若向量OP·向量OQ=0.

(1)求实数m的值;

(2)若R(x,y)为圆C上一点,求x+y-5/6m的最大值与最小值.

Answer 1

（1）将 x= 3-2y 代入圆的方程得 (3-2y)^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0 ，
化简得 5y^2-20y+12+m=0 ，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 y1+y2= 4 ，y1*y2=(12+m)/5 ，
因此 x1*x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1y2=4/5*(12+m)-15 ，
由于 OP*OQ=0 ，因此 x1x2+y1y2=0 ，
即 12+m-15=0 ，
解得 m=3 。
（2）由（1）得圆的方程为 (x+1/2)^2+(y-3)^2=25/4 ，
因此圆心为（-1/2 ，3），半径 r=5/2 ，
令 t=x+y-5/6*m ，则直线方程化为 x+y-t-5/2=0 ，
由已知，该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离不超过半径 ，
即 |-1/2+3-t-5/2|/√2<=5/2 ，
化简得 |t|<=5√2/2 ，
解得 -5√2/2<= t <= 5√2/2 ，
所以，所求最大值为 5√2/2 ，最小值为 -5√2/2 。