Question

求函数f(x)=-x^2+x在区间[a，a+1]上的最小值g(a)和最大值G(a)

求函数f(x)=-x^2+x在区间[a，a+1]上的最小值g(a)和最大值G(a)

Answer 1

f(x)=-x^2+x
=-(x-1/2)²+1/4
当a<=-1/2时，最小值g(a)=f(a+1)=-a²-a, 最大值G(a)=f(a)=-a²+a
当a>=1/2时，最小值g(a)=f(a)=-a²+a, 最大值G(a)=f(a+1)=-a²-a
当-1/2<a<=0时，最小值g(a)=f(1/2)=1/4,最大值G(a)=f(a)=-a²+a
当0<a<1/2时，最小值g(a)=f(1/2)=1/4，最大值G(a)=f(a+1)=-a²-a

Answer 2

f(a)=a-a²
f(a+1)=-a²-a+2
f(1)=0
函数的对称轴为；x=1
1)
当1<a,函数f(x)在[a,a+1]上单调减；
g(a)=f(a+1)=-a²-a+2
G(a)=f(a)=a-a²
2)
当a≤1＜a+1/2 ，即1/2<a≤1时，函数f(x)在[a,a+1]上先增后减，减区间多于增区间；
g(a)=f(a+1)=-a²-a+2
G(a)=f(1)=0
3)
当a+1/2≤1＜a+1时，即0<a≤1/2时，函数f(x)在[a,a+1]上先增后减，增区间多于减区间；
g(a)=f(a)=a-a²
G(a)=f(1)=0
4)
当a+1≤1,即a≤0时，函数f(x)在[a,a+1]上单调增
g(a)=f(a+1)=-a²-a+2
G(a)=f(a)=a-a²

Answer 3

解：函数的对称轴为1/2.
（1）当a+1小于等于1/2时，即a小于等于-1/2时
g(a)=f(a), G（a)=f(a+1)
当a大于等于1/2时
g(a)=f(a+1), G(a)=f(a)
当a小于1/2,a+1大于1/2，a+1-1/2大于等于1/2-a,即0<a<1/2时
g(a)=f(a+1), G(a)=f(1/2)
当-1/2<a<0时
g(a)=f(a), G(a)=f(1/2)