Question

一道微积分题！求助！在线等！！谢谢！

有一个球形的装水容器，半径R. 容器的底部有个小孔，水从里面流出来，速度不变，一直是k.
求：1.容器里水的高度的变化速度，当高度等于0.5R时
2. 水面的面积的变化速度，当水的高度为0.5R时

可能有帮助的一些提示：
体积的变化速度（dV/dt)=水的表面积*水深的变化速度（dH/dt)

拜托大家了！！ 尽量快些吧，要来不及了！！谢谢！！！

Answer 1

解：（1）k=dV/dt=S*dH/dt，（S是水的表面积，V是水的体积）
S=π*[R^2-(H)^2]，
当H=0.5R时，
所以：水的高度变化速度=dH/dt=(k/S)=(4k)/(3π*R^2)

（2）S=π*(R^2-H^2)，[其中只有H是变量]，所以：
dS/dt=π*d(R^2-H^2)/dt=π*d(-H^2)/dt=-π*2H*dH/dt·····················（1）
当H=0.5R时，dH/dt=4k/(3π*R^2)，代入（1）式，得：
dS/dt=π*R*[-4k/3π*R^2]=-4k/(3R) （显然面积是减小的。）

追问

第二问，水面的半径（r)的平方不应该等于R^2-H^2吧？不是只有当H=0.5R的时候,r^2=R^2-H^2才成立吗？ 是不是应该先用r^2=R^2-(R-H)^2来表示r,然后到后面算完dS/dt以后再把H=0.5R带进去？
可以再帮我看看吗？谢谢！
我试着用我的算法又来了一遍，答案一样！
谢谢啦~

追答

我的方法是以球心为坐标原点，这样算出来H=-R/2，所以答案是不变的。我觉得我这种算法简便一些。哈哈，谢谢采纳！