Question

如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,且AE=AF.试说明：

（1）BD＝CD；
（2）AD⊥BC.

Answer 1

郭敦顒回答：
∵AE=AF,连EF，取EF中点G，作AD′=AD，且AD′⊥EF于G，
过D′作B′C′∥EF，分别交AF与AE延长线于B′与C′，则
AB′=AC′。
又DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F，
∴在Rt⊿AFD与Rt⊿AED中cos∠FAD=AF/AD=AE/AD=cos∠EAD，
∴∠FAD=∠EAD，∠FAD+∠EAD=∠A，
A

F G E

B C
B′ D D′ C′

又∵在等腰△AFE中∠FAG=∠EAG，∠FAG+∠EAG=∠A，
∴∠FAG=∠FAD，∠EAG=∠EAD，
但∠FAG=∠FAD′，∠EAG=∠EAD′，同角相等，
∴∠FAD与∠FAD′，∠EAD=∠EAD′分别为同角，
∴D′与D重合，B′C′与BC重合，B′与B，C与C′分别重合。
∴AD⊥BC，
∴Rt⊿ABD≌Rt⊿ACD，（两角夹一边对应相等），
∴BD＝CD。

Answer 2

证明：
（1）∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠BFD=∠CED=90°
∵DE=DF
∴△BDF≌△CDE
∴BD=CD
（2）
∵BD=CD，AB=AC
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）

Answer 3

证明：
∵DE⊥AC,DF⊥AB
∴∠DFB＝∠DEC＝90
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵BF＝AB-AF，CE＝AC-AE，AE＝AF
∴BF＝CE
∴△BFD≌△CED （ASA）
∴BD＝CD
∵AD＝AD
∴△ABD≌△ACD （SSS）
∴∠ADB＝∠ADC
∵∠ADB+∠ADC＝180
∴∠ADB＝∠ADC＝90
∴AD⊥BC

Answer 4

AB=AC AE=AF DE⊥AC DF⊥AB △BED=△CFD 所以BD＝CD

D为等腰三角形底边中点 所以AD⊥BC