Question

已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的离心率为1/2,左右焦点分别分别为F1，F2，

点G在椭圆上 且向量GF1×GF2=0， △GF1F2的面积为3
1·求椭圆C的方程
2：设椭圆的左右顶点为A,B，过点F2的直线l与椭圆交与不同的两点M,N(不同于点A,B）。探索，直线AM,BN的交点能否在一条垂直于x轴的定直线上。若能请求出这条定直线。若不能请说明理由。。
第一问我解出来了，主要是第二问。。。

Answer 1

解: 第一问我就简单写写，主要写第二问了。
1. GF1*GF2 = 2*3=6 ; GF1^2+GF2^2 = F1F2^2 ; 4a^2-2*6 = 4c^2
所以 a=2,c=1,b=√3 方程 x^2/4+y^2/3=1

2. 此问之关键就在于设而不求，冷静应对。不要被迷惑。看我的

设直线MN: x-1 = my ; 直线AM: x+2 = m1y ; 直线BN： x-2 = m2y
点 M(x1,y1) ;N(x2,y2)

& 尽可能挖掘已知条件:
<1> 求MA,NB交点K
联立 x+2 = m1y ; x-2=m2y ；易知 y = 4/(m1-m2) ; x = 2(m1+m2)/(m1-m2) = 2+4m2/(m1-m2)......1#
<2> 化简提问"直线AM,BN的交点能否在一条垂直于x轴的定直线上。若能请求出这条定直线。若不能请说明理由。。" 这 等价于证明 x = 2+4m2/(m1-m2)是否是定值

<3> M为MN与AM交点，N为NB与MN交点

x1+2 = m1y1 ; x1 - 1 = my1; 所以 m1=m+3/y1
x2-2 = m2y2; x2 -1 =my2; 所以 m2 = m-1/y2 代入1#

x = 2+4 * [m-1/y2]/[3/y1+1/y2] = 2 + 4* [ my1y2-y1]/[3(y1+y2)-2y1].....2#

直线MN: my = x-1 代入 椭圆 3x^2+4y^2-12=0
可知 (3m^2+4)y^2+6my-9=0

于是 my1y2-y1 = -9m/(3m^2+4)- y1
3(y1+y2)-y1 = -18m/(3m^2+4)-2y2
显然 (my1y2-y1)/(3(y1+y2)-y1 ) = 1/2

所以 2# = 2+4*(1/2) = 4
也就是说 x=4 为定值，所以直线存在，就是x=4

Answer 2

因为离心率e=(根号6)/3 所以得到c²/a²=(a²-b²)/a²=e²=2/3 又因为2c=2(根号2) 所以c=根号2 所以c²=2 设置a²=m b²=n 得到 由 c²/a²=(a²-b²)/a²=e²=2/3 得到 (m-n)/m=2/3 m-n=2 这样子就可以解出 a². b²了

追问

第一问我也解出来了，主要是第二问。。。

追答

2
因为y=kx+m,M、F2、N在一条线上，
y=kx+m过F2(1,0)

追问

不是说定直线吗。。。。