Question

已知函数f(x)=lnx-a/x+a/x^2（a属于R)

(1)若a=1,求函数f(x)的极值。
(2)若f(x)在[1,+无穷)内为单调函数，求实数a的取值范围。
(3)对于n属于N+,求证：1/(1+1)^2+2/(2+1)^2+3/(3+1)^2+…+n/(n+1)^2<ln(n+1)

Answer 1

1)a=1,则f(x)=lnx-a/x+a/x^2=lnx-1/x+1/x^2,(x>0)
f'(x)=1/x+1/x^2-2/x^3
当f'(x)=0时，函数取极值，此时1/x+1/x^2-2/x^3=(x+2)(x-1)/x^3=0，解得x=1(x>0故x=-2舍去)
极值即为f(1)=0

2)f(x)=lnx-a/x+a/x^2,
则f'(x)=1/x+a/x^2-2a/x^3=(x^2+ax-2a)/x^3
设函数的单调区间为M,则[1,+无穷)是M的子集，

当函数单调递增时，M={x|f'(x)>0},
①当-8<a<0,x^2+ax-2a)/x^3>0的解集为x>0 ,此时[1,+无穷)是M的子集；
②当a<-8时，x^2+ax-2a)/x^3>0的
解集为(0,(-a-√(a^2+8a))/2)∪((-a+√(a^2+8a))/2，+∞)，此时若[1,+无穷) 是M的子集，
则有(-a+√(a^2+8a))/2<1,解得此时a无解；
③当a>0时，x^2+ax-2a)/x^3>0的
解集为((-a-√(a^2+8a))/2，0)∪((-a+√(a^2+8a))/2，+∞)，此时若[1,+无穷) 是M的子集，
则有(-a+√(a^2+8a))/2<1,解得0<a<1;
④当a=-8或0或1时，函数在[1,+无穷)内单调
所以当函数递增时，满足条件的a的范围为-8<=a<=1

当函数单调递减时，M={x|f'(x)<0},
因为当x足够大时，始终有f’(x)>0,即此时M可表示成(0,x1)∪(x2，+∞)或(x1，0)∪(x2，+∞)的形式，换句话说明f’(x)<0的解只能是(-∞,x1)∪(0，x2)或(-∞,x1)∪(x2，0)的形式，此时函数不可能在[1,+无穷)上递减。

综上f(x)在[1,+无穷)内为单调函数，则实数a的取值范围为-8<=a<=1；

3）证明的关键是要理解函数定积分的几何意义，
即定积分代表函数曲线和x轴所形成图形的面积。
针对本例是考查函数f(x)=x/(x+1)^2，在区间(0,n)内与x轴所形成图形的面积。
以下是详细证明。

1/(1+1)^2+2/(2+1)^2+3/(3+1)^2+…+n/(n+1)^2=∑k/(k+1)^2(k=1,2,..,n),
不难理解∑k/(k+1)^2(k=1,2,..,n)的几何意义，
即高为k/(k+1)^2，宽为1的所有长方形的面积之和。
且不难证明f(x)=x/(1+x)^2为单调递减函数(对f(x)求导即可证明)，
所以每一个小长方形的面积=k/(k+1)^2<∫ （x/(x+1)^2）dx(积分的范围为（k-1,k）),
所以∑k/(k+1)^2< ∑∫ (x/(x+1)^2）dx(积分的范围为（k-1,k）) dx(k=1,2,..,n)
=∫ （x/(x+1)^2）dx(积分的范围为（0,n）) =ln(n+1)-n/(n+1)<ln(n+1)，
命题得证。

Answer 2

1. 只有极小值在x=1处取得是0

2. 单调递增时，a<=1;单调递减时，a不存在。

3. 内容较多，不好上传，你把邮箱发来，我给你照过去

Answer 3

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