Question

如图,抛物线y=-x方+3分之2倍的根号3x+2与x轴交于C,A两点,与y轴交于B,OB=2,点O关

如图，抛物线y=-x方+3分之2倍的根号3x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于B，OB=2，点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y= kx的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动 12个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0，即-x²+5√3/3x+2=0； 解得 x1=-√3/3，x2=2√3．
∴C（-√3/3，0）、A（2√3，0）．
令x=0，即y=2，
∴B（0，2）．
综上，A（2√3，0）、B（0，2）．
（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2√3，0）在直线上，
∴0=k1•2√3+2
∴k1=-√3/3
∴直线AB的解析式为y=-√3/3x+2．
（3）由A（2√3，0）、B（0，2）得：OA=2√3，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；
∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，
∴OD=OA=2√3
∴D点的横坐标为√3，纵坐标为3，即D（√3，3）．
∵y=k/x过点D，
∴3=k/√3，
∴解得k=3√3
（4）∵AP=t，AQ=1/2t，P到x轴的距离：AP•sin30°=1/2t，OQ=OA-AQ=2√3-1/2t；
∴S△OPQ=1/2•（2√3-1/2t）•1/2t=-1/8（t-2√3)²+3/2；
依题意有:
t≤4
1/2t≤2√3
t＞0
解得0＜t≤4．
∴当t=2/3时，S有最大值为3/2

Answer 2

（1）令y=0，即-x²+5√3/3x+2=0； 解得 x1=-√3/3，x2=2√3．
∴C（-√3/3，0）、A（2√3，0）．
令x=0，即y=2，
∴B（0，2）．
综上，A（2√3，0）、B（0，2）．
（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2√3，0）在直线上，
∴0=k1•2√3+2
∴k1=-√3/3
∴直线AB的解析式为y=-√3/3x+2．
（3）由A（2√3，0）、B（0，2）得：OA=2√3，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；
∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，
∴OD=OA=2√3
∴D点的横坐标为√3，纵坐标为3，即D（√3，3）．
∵y=k/x过点D，
∴3=k/√3，
∴解得k=3√3
（4）∵AP=t，AQ=1/2t，P到x轴的距离：AP•sin30°=1/2t，OQ=OA-AQ=2√3-1/2t；
∴S△OPQ=1/2•（2√3-1/2t）•1/2t=-1/8（t-2√3)²+3/2；
依题意有:
t≤4
1/2t≤2√3
t＞0
解得0＜t≤4．
∴当t=2/3时，S有最大值为3/2

Answer 3

解：（1）令y=0，即 ，解得 。
∴C（ ，0）、A（ ，0）。
令x=0，得y=2。∴B（0，2）。
∴A（ ，0）、B（0，2）。
（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k1x+2。
又∵点A（ ，0）在直线上，∴0=k1 +2，解得k1= 。
∴直线AB的解析式为y= x+2。
（3）由A（ ，0）、B（0，2）得：OA= ，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°。
∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA= 。
∴D点的横坐标为OD·cos600= ，纵坐标为OD·sin600=3。
∴D（ ，3）。
∵ 过点D，∴ ，即k=3 。
（4）存在。
∵AP=t，AQ= t，P到x轴的距离：AP•sin30°= t，OQ=OA﹣AQ= ﹣ t，
∴ 。
依题意， ， 得0＜t≤4。
∴当t= 时，S有最大值为 。

Answer 4

一元二次方程与图形结合题，最多是初三的题目
思路：令y=0，得到A,C的坐标，令X=0得到B的坐标。1）2）不多说；AB直线方程出来后算出它的斜率，设为a，则k=-1/a（注意是负一除以k）；3）解决；
因为P.Q都在第一象限，所以S=P的纵坐标*Q的横坐标*0.5（肯定是个关于t的一元二次方程），注意一点：因为AO小于AB并且P的速度还小于Q，因此要算出Q到O的时间，也就是t的取值范围。
（另外告诉你一点，S最小值肯定是0，由于函数连续，并且t的取值有限，所以还可以肯定的告诉你，S绝对有最大值）