Question

高数啊啊啊

若对任意∑＞0，在数列{Xn}中有无数个点落在点a的∑邻域内，能否说明，当n趋向正无穷时，limXn=a？若不成立，请举反例。
但∑是任意的，如果∑趋近零，那岂不是1的邻域无限小，那怎么办啊，那就没有无数点落在里面了

Answer 1

当然不能
因为要有lim xn=a
就一定要满足定义：
任意ε>0，存在N>0，当n>N，都有|xn-a|<ε
而明显，这与题目说的并不一致

因为“在数列{Xn}中有无数个点落在点a的ε邻域内”
与“在数列{Xn}中，存在N>0，当n>N，所有点都落在点a的ε邻域内”
并不等价

给你个例子~~~
数列：-1,1,-1,1,……
xn=(-1)^n，a=1
明显，在数列{xn}中有无数个点落在点1的ε邻域内
但是，lim xn并不存在

这是没有问题的
因为xn不是1，就是-1
不管ε有多么小，都肯定有无穷多个xn使得|xn-a|=|1-1|=0<ε
这就符合你的条件了
但是，明显xn是发散的

另外，希望你能用追问，而不是补充
因为追问之后，我的答案会变得清晰一点，我打字也方便一点……
有不懂欢迎追问

Answer 2

不成立