Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上且BD=CE，连接DE交BC于F，求证：DF=EF。

Answer 1

延长BC，作EG‖BA，交BC延长线于G，
∵EG‖BA
∴∠FEG=∠BDF（内错角相等），
∵∠EFG=∠BFD（对顶角相等），
DF=FE
∴△BDF≌△GEF（ASA）。
∴EG=BD，
∵CE=BD，
∴EG=CE，
三角形ECG是等腰三角形，
∴∠CGE=∠GCE
∵∠GCE=∠ACB（对顶角），
∠ABC=∠CGE
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形.

Answer 2

　　证明：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC
　　作DG//AC交BC于G
　　则∠DGB=∠ACB=∠ABC
　　∴DG=DB=CE
　　又∠DFG=∠EFC，∠DGF=∠ECF
　　∴△DGF≌△ECF
　　∴DF=EF