Question

一道抽象代数有关正规子群的题， 分别计算出S4和A4的所有正规子群

Answer 1

S4的阶是24，那么非平凡子群有可能有2,3,4,6,12五类。2,3阶子群肯定不是正规子群，因为他们肯定是循环群，而S4非交换，所以一定不是。

12阶子群一定是正规子群，只有A4，参见小群列表，除了A4，其他12阶群皆需要6阶元。

6阶子群。只有S3，Z6需要6阶元。因为(14)(12)(14)=(24)，显然S3也不是正规子群。

4阶子群，只有Z4和K4。Z4显然不是正规子群。K4={(1),(12)(34),(13)(24),(13)(23)}是其正规子群。

故S4的非平凡正规子群只有A4和K4(克莱因4元群）。

A4的讨论相仿，因为他无6阶子群。上次好像就是你问了这个。他的子群只有2,3,4三类，和上面的说法基本类似。

故A4的非平凡子群只有K4.

Answer 2

a4是12阶群，s4是24阶群，a4是s4的正规子群。a4都是偶置换，s4奇偶置换各半。