Question

已知定义域为R的函数f(x)=-2^x+a/2^x+1是奇函数(1)判断并证明该函数在R上的单调性。（2）若对任意的t属于

2）若对任意的t属于R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0,求实数k的取值范围、、、、

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Answer 1

：（1）由题设,需f(0)=(1+a)/2=0，∴a=1，
∴f(x)=(1-2^x)/()1+2^x)，
（2）减函数
证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2-x1＞0，
f（x2）-f（x1）=(1-2^x2)/(1+2^x2)-(1-2^x1)/(1+2^x1)=2(2^x1-2^x2)/(1+2^x1)(1+2^x2)
x1＜x2 , 0 ＜ 2^x1<2^x2, 2^x1-2^x2<0, (1+2^x1)(1+2^x2)>0
f（x2）-f（x1）<0, f（x2）<f（x1）
∴该函数在定义域R 上是减函数．
由f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0,得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
由（2）知，f（x） 是减函数
∴原问题转化为t2-2t＞k-2t2，即3t2-2t-k＞0 对任意t∈R 恒成立，
∴△=4+12k＜0，得k＜-1/3