Question

已知函数fx=x^3-ax+1在R上是增函数 求a的取值范围

Answer 1

一、如果学习过求导数，那么可以知道当f'(x)>0时，函数严格单调递增，如果f'(x)≥0，函数单调递增。
单调递减与严格单调递减类似可知。
所以对于本题，有
f'(x)=3x²-a≥0.....因为在R上要是增函数，所以式子要恒成立
即3x²≥a要求对于任意的x∈R恒成立，、
于是可得a≤0.
二、如果没学习过导数，则可以从定义出发考虑
增函数的定义：对于任意的x1<x2，若恒有f(x1)≤f(x2)，则函数f(x)是增函数
所以要求f(x1)-f(x2)
=(x1)³-ax1+1-(x2)³+ax2-1
=(x1-x2)[(x1)²+x1x2+(x2)²]-a(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1)²+x1x2+(x2)²-a]≤0
因为x1<x2，所以x1-x2<0,从而上式要成立，只需[(x1)²+x1x2+(x2)²-a]≥0
而[(x1)²+x1x2+(x2)²-a]=[(x1+x2/2)²+3(x2)²/4-a]
要使上式≥0，只需3(x2)²/4-a≥0,即a≤0

Answer 2

学过求导没？