Question

一道线性代数的题，答案看了很多遍不明白。。

最后变出n-2的时候是怎么回事啊，什么公式，还有其他办法吗？

Answer 1

| | A | A^(-1) |提取行列式中每行的公因子| A | ，一共提取n次（n阶行列式有n行）

得到| A | ^n

而| A^(-1) |= | A | ^(-1) ，即逆矩阵的行列式等于行列式的逆（或者说是倒数）

再加上后面（| A | A^(-1) ）^(-1)中提取出来的 | A | ^(-1) （因为kB的逆等于1/k乘B逆，其中k是数，B是矩阵）

这样| A | ^n再抵消两个| A | ^(-1) ，得到| A | ^(n-2)

Answer 2

这里涉及多个结论:
1. 若A可逆, 则 A* = |A|A^-1. 这是从基本公式 AA*=|A|E 来的.
2. |kA| = k^n |A|. kA是将A中所有元素都乘k. 由行列式的性质每行提出公因子k, 故提出n个k
3. 若 k≠0, A可逆, 则 kA 可逆, 且 (kA)^-1 = (1/k) A^-1.
4. 若A可逆, 则A^-1可逆, 且 (A^-1)^-1 = A.
5. |A*| = |A|^(n-1).
6. |A^-1| = 1/|A|.

(A*)*
= |A*|(A*)^-1 --结论1
= ||A|A^-1| (|A|A^-1)^-1 --仍是结论1, 也可用结论5
= (|A|^n |A^-1|) (1/|A| A) --结论2和3
= |A|^n * (1/|A|) (1/|A|) * A --结论6
= |A|^(n-2) A
= 最终结果.