Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，

D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

Answer 1

解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
因为：

∠EBD=∠CBD=CD∠EDB=∠FDC​

∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF的长为5．

Answer 2

解：延长ED到G，使DG=DE，再连结CG，FG。
因为 DE垂直于DF，DG=DE，
所以 DF垂直平分EG，
所以 EF=GF，
因为 D是AC中点，DG=DE，角CDG=角ADE，
所以 三角形CDG全等于三角形ADE，
所以 CG=AE=4，角GCD=角A，
因为 在等腰直角三角形ABC中，角ABC=90度，
所以 角A=45度，角ACB=45度，
所以 角GCF=角GCD+角ACB=角A+角ACB=90度，
在三角形GCF中，因为 角GCF=90度，CG=4，FC=3，
所以 由勾股定理可得：GF=5，
因为 EF=GF，
所以 EF=5。

Answer 3

连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
因为：∠EBD=∠CBD=CD∠EDB=∠FDC
∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3
同理可证：△FDB≌△EDA（ASA），BF=AE=4
在RT△BEF中，根据勾股定理可知，EF=5