Question

高数问题 如图

求详细步骤 久不碰了压力大 感谢

Answer 1

由于分母x^3+2>=2，当x>=0时，因此被积函数没有瑕点，只需考虑无穷积分的敛散性即可。
很显然有 |积分(从0到A)cosxdx|<=2，对任意的A成立；
(x^2+1)/(x^3+2)在x充分大时是递减的，且趋于0，因此
由Dirichlet判别法知道广义积分收敛。
在考虑(x^2+1)/(x^3+2)*|cosx|>=cos^2x(x^2+1)/(x^3+2)
=(x^2+1)/(2x^3+4)-(cos2x)(x^2+1)/(2x^3+4)，注意到
第二项(cos2x)(x^2+1)/(2x^3+4)的广义积分仍然可以用上面
的方法证明是收敛的，而第一项(x^2+1)/(2x^3+4)当x趋于无穷时
等价于1/(2x)，故无穷积分是发散的，两项相减后的广义积分就是发散的，
即原积分不是绝对收敛。
综上，原广义积分是条件收敛。

Answer 2

由于x----无穷时,x^2+1 可视为x^2 x^3+2可视为x^3
因此x----无穷时,(x^2+1)/(x^3+2) 与x^2/x^3=1/x等同
由于x----无穷时cosx/x趋于0,所以是收敛的
|cosx/x|>=(cosx/x)^2 =cos^2x/x^2=1/(2x^2)+(cos2x)/(2x^2)
而1/(2x^2)在1到正无穷上积分发散，
cos2x)/(2x^2)是条件收敛的。
根据比较判别法我们可知|cosx/x|是发散的。
从而原式不绝对收敛,而是条件收敛

Answer 3

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