Question

用数列极限的精确定义证明这个极限[（n平方减2）/(n平方加1加n)]＝1，n趋向于无穷大！

Answer 1

考虑
|(n^2-2)/(n^2+n+1) - 1|
=| (n^2-2-n^2-n-1)/(n^2+n+1) |
=| (-n-3)/(n^2+n+1) |
=(n+3)/(n^2+n+1)
<(n+3)/n^2 （因为n^2+n+1>n^2）
限制n>3
<2n/n^2
=2/n
对任意ε>0，取N=max{2/ε，3}>0，
当n>N，就有|(n^2-2)/(n^2+n+1) - 1|<ε
根据定义，
lim (n^2-2)/(n^2+n+1) = 1
有不懂欢迎追问

Answer 2

根据极限定义：
要证明极限为1，只需证明|(n^2-2)/(n^2+n+1)-1|<ε即可
则有|(n^2-2)/(n^2+n+1)-1|=(n+3)/(n^2+n+1)<(n+3)/(n^2+n)=n/(n^2+n)+3/(n^2+n)<n/(n^2+n)=1/(n+1)
设n0=[1/ε]
∀n>n0
∃1/(n+1)<1/([1/ε]+1])<ε
证完