Question

高数导数问题.急！

已知f(x)在0处可导，f(0)=0,lim(x～0)[f(tanx-sinx)/x3）=4.求f'(0)

Answer 1

4=lim f(tanx-sinx)/x^3
=lim f(tanx-sinx)/(tanx-sinx)*lim (tanx-sinx)/x^3
=lim f(tanx-sinx)-f(0))/(tanx-sinx-0)*lim sinx/x*lim (1/cosx-1)/x^2
=f'(0)*1*lim (1-cosx)/x^2 *lim (1/cosx)
=f'(0)*0.5，因此
f'(0)=8。

Answer 2

解：答案：f'(0)=24
解：由罗比达法则：此极限为0/0型
所以，lim(x～0)[f(tanx-sinx)]/x3）=lim(x～0)[f'(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)]/3x2）
=lim(x～0)[f''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)+f'(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6x=4
因为，lim(x～0)[f''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)]/6x=lim(x～0)[f'''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)+f''(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6=0。
所以，lim(x～0)[f'(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6x=4
所以，3f'(0)/6=4 , 即：f'(0)/2=4（因为，sinx/x=1 ，tanx/x=1 当 x-0时）
所以，f'(0)=8