Question

高数微积分初学者：0*无穷型的极限求法

为什么参考书上说这里的0可以用等价无穷小代换

Answer 1

对于：求 0*无穷型的极限的问题
例如：求极限lim（x-0）x/arctanx
lim（x-0）x/arctanx=lim（x-0）x *（1/arctanx）是一个0*无穷型的极限的问题
因为（x-0）时，x与arctanx是等价无穷小，
所以：lim（x-0）x *（1/arctanx）=lim（x-0）（arctanx）*（1/arctanx）= 1

说明：（1）对于 0*无穷型的极限，这里的零并不是大小为零，而是某个极限为零的情况：lim（x-0）x=0。
（2）关于“等价”无穷小：sinx与x，arctanx与x是等价无穷小，1+cosx与x^2/2是等价无穷下，
e^x-1与x是等价无穷下，题目不同用于代换的等价无穷小也不同
上题中：就只能选用arctanx与x是等价无穷小，如果选sinx与x等价无穷小，问题会变复杂。

Answer 2

一般作法是化为0/0或∞/∞，用洛必达法则。
因为这里的函数是乘积的结构，所以其中的无穷小可以用等价的无穷小替换