Question

设函数f(x)=x(e^x+ae^-x)(x属于R)时偶函数，则实数a的值为？

Answer 1

f（x）＝x（e^x+ae^-x）
f(-x)=(-x)(e^(-x)+ae^x)=x(-ae^x-e^(-x))
因为是偶函数，则有
f(x)=f(-x)
则有-a=1
a=-1

============================================================================解：
因为f(x)是偶函数
所以f(1)=f(-1)
又f(1)=e+ae^(-1)=e+a/e
f(-1)=-[e^(-1)+ae]=-1/e-ae
所以e+a/e=-1/e-ae
解得a=-1

答案：a=-1

Answer 2

由偶函数可知：
f(-x) = -x(e^-x+ae^x) = f(x) = x(e^x+ae^-x)
等价于 -(e^-x+ae^x) =(e^x+ae^-x)
(e^-x+ae^x)+ (e^x+ae^-x) =0；
=> (1+a)e^-x +（1+a)e^x) = 0;
=> (1+a)(e^-x+e^x) =0; 对于x属于r恒成立，即有a = -1

Answer 3

f(-x)=f(x)
-x[(e^-x)+(ae^x)]=x(e^x+ae^-x)
多项式相等，对应项的系数相等，所以a=-1