Question

∫[0，π/4] (tanx)^2dx求详细过程

Answer 1

关键是求出：∫（tanx）^2dx。
方法一：
∫（tanx）^2dx
＝∫［（sinx）^2/（cosx）^2］dx＝－∫［sinx/（cox）^2］d（cosx）＝∫sinxd（1/cosx）
＝sinx/cosx－∫（1/cosx）d（sinx）＝tanx－∫（cosx/cosx）dx＝tanx－x＋C。

方法二：
∫（tanx）^2dx
＝∫［（sinx）^2/（cosx）^2］dx＝∫｛［1－（cosx）^2］/（cosx）^2｝dx
＝∫［1/（cosx）^2］dx－∫dx＝tanx－x＋C。

方法三：
∫（tanx）^2dx
＝∫［（sinx）^2/（cosx）^2］dx＝∫（sinx）^2d（tanx）＝（sinx）^2tanx－∫tanxd［（sinx）^2］
＝（sinx）^2tanx－∫tanx（2sinxcosx）dx＝（sinx）^2tanx－∫［2（sinx）^2］dx
＝（sinx）^2tanx－∫（1－cos2x）dx＝（sinx）^2tanx－∫dx＋（1/2）∫cos2xd（2x）
＝（sinx）^2tanx－x＋（1/2）sin2x＋C＝（sinx）^2tanx＋sinxcosx－x＋C
＝（sinx）^2tanx＋tanx（cosx）^2－x＋C＝tanx－x＋C。

于是：
∫（上限为π/4、下限为0）（tanx）^2dx
＝（tanx－x）｜（上限为π/4、下限为0）＝tan（π/4）－π/4＝1－π/4。

Answer 2

注意有公式
(tanx)^2+1=(secx)^2 (tanx)^2=(secx)^2 -1
dtanx=(secx)^2dx ∫(secx)^2dx=tanx+C

∫[0，π/4] (tanx)^2dx
=∫[0，π/4] [(secx)^2-1]dx
=[tanx-x](0，π/4)
=1+π/4