Question

已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R,x∈R)(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由(2)函数f(x)

已知函数f(x)＝x|x-a|(a∈R，x∈R）（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由（2）函数f(x)在［0，正无穷）上能否单调递？若能，求出实数a的取值范围，若不能，说明理由

Answer 1

1、a=0时，f(x)=x|x|为奇函数。因为y=x是奇函数，y=|x|是偶函数。两者的乘积为奇函数
当a≠0时，非奇非偶函数。
f(-x)=-x|x+a|
若f(x)=-f(-x)恒成立，则有，|x-a|=|x+a|恒成立，解得a=0.从而a=0时，f(x)为奇函数。
若f(x)=f(-x)恒成立，则有|x-a|=-|x+a|恒成立，显然无解。
综上可知：a=0时，f(x)为奇函数。a≠0时为非奇非偶函数
2、f(x)＝x|x-a|(a∈R，x∈R）
a>0时，f(x)= x(x-a) x>a
-x(x-a) x≤a
此时，在[0,a]上，函数为减函数。在[a,+∞)为增函数。所以不符合条件
当a≤0时，f(x)= x(x-a) x>a
-x(x-a) x≤a
函数在[a/2,+∞）上为增函数。显然，在［0，+∞）上能单调递增。
综上可知，当a≤0时，f(x)在［0，正无穷）上单调递增

Answer 2

1，因为 f(-x)=-x|x+a| 而 f(x) = x|x-a|
当a=0时 奇函数
a≠0 为 非奇非偶函数。
2. 因为 f(x)=|x^2-ax| = |(x-a/2)^2-a^2/4|
从函数图象可以看出，图像与x轴的交点为0和a。
因此 a<=0时成立