Question

（1）函数y=log1／2（x^2-6x+17）的值域是？

（2）函数y=log1／3（2x-x^2）的单调递减区间是？

Answer 1

1，因为x^2-6x+17＞0 而根的 判别式＜0 恒成立
y=x^2-6x+17 顶点坐标为（3，8）
因为log1/2为减函数
所以x^2-6x+17 取最小值时有最大值 - 3
所以值域 y≤-3
2，因为2x-x^2>0
即得0<x<2
设 t=2x-x^2=-(x-1)^2+1
而 y=log1/3(t)为减函数，
要使 y=log1/3(2x-x^2)的单调递减
则 t=2x-x^2=-(x-1)^2+1取递增区间，即 x≤1
所以函数y=log1/3(2x-x^2)的单调递减区间（0,1]

Answer 2

设f(x)=x^2-6x+17=(x-3)^2+8>=8

y<=log1/2(8)=-log2(8)=-3
即值是(-无穷，-3]
2。
y=log1/3(2x-x^2)的底数是1/3，是一个减函数，故单调减区间就是函数f(x)=2x-x^2的增区间。
f(x)=-(x-1)^2+1,在（-无穷，1）上是增函数，又有2x-x^2>0
x(x-2)<0
0<x<2
故函数的单调减区间是（0，1）

Answer 3

(1)
y=log1/2(-x²+2x)
要使函数有意义必须：
(-x²+2x)>0==>x²-2x<0
x(x-2)<0
0<x<2
对称轴为x=1,开口向下，
t=-x²+2x-1+1= - (x-1)²+1≤1
函数y=log1/2(t)单调减，
y≥0
值域为[0,+∞)
(2)
原函数可拆成：
y=log1/2(t)
t= -x²+2x,由（1）知：函数t(x)在(0,1]上单调增，
函数y(t)单调减，由复合函数的同增异减性知：原函数在（0，1]上单调减，
所以函数的单调减区间为：
（0，1]

Answer 4

解:
这是一个单调递减函数
又因为内函数x2-6x+17>=8恒成立
所以函数的最大值为
f(8)=log1/2(8)=-3
所以
f(x)∈(负无穷,-3]

Answer 5

x²-6x+17=(x-3)²+8≥8
∵以1/2为底的对数是减函数，真数越大
对数值越小
∴log1/2（x²-6x+17）≤log1/2（8）=-3
∴函数值域是(-∞，-3]