Question

求教个线性代数题

已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A^2x线性无关，且满足A^3x=3Ax-2A^2x,
(1)记P=（x,Ax,A^2x),求三阶矩阵B，使A=PBP^-1
(2)计算行列式A+E的值
高手教下，写下过程，图片也行，谢了

Answer 1

A=PBP^-1等式两边同时右乘一个P
得AP=PB
因为P=（x,Ax,A^2x)，所以AP=（Ax,A^2x,A^3x)

我们发现，右边P最高的是A^2。上面的式子里面出现了A^3x，不过正好可以用题目条件A^3x=3Ax-2A^2x代换。所以
AP= A(x,Ax,A^2x)= (Ax,A^2x,A^3x)= (Ax,A^2x,3Ax-A^2x)= (x,Ax,A^2x)B=PB
而(Ax,A^2x,3Ax-A^2x)显然可以写成
0 0 0
(x,Ax,A^2x)1 0 3 也就是相当于P乘以一个矩阵，而这个矩阵就是B
0 1 -2

所以B=0 0 0
1 0 3
0 1 -2
第二问。
B已经知道了，那么B的特征值肯定求得出来。是0,1，-3
那么A和B是相似的，所以A的特征值也是0，1，-3
所以A+E的特征值是1,2,-2
那么|A+E|=1x2x（-2）=-4
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不明白请补充，明白请采纳~~谢谢~·

Answer 2

要解这个题首先得善于利用已知条件，由于题目第一问给出A=PBP^-1，所以可知P可逆，且PA=PB,

0 0 3
即(X,AX,A^2X)A=(AX,A^2X,A^3X)=(AX,A^2X,3AX-2A^2X)=(X,AX,A^2X)﹛1 0 0﹜=PB,所以
0 1 -2

0 0 3
[ 1 0 0 ]=B（这一步用到A^3x=3Ax-2A^2x条件和矩阵乘法知识）,下面解第二问，因为
0 1 -2

A^3x=3Ax-2A^2x，经过恒等变形（注意矩阵乘法运算规则），可得三个等式A(A^2x+2Ax-3x)=0,
(A+3E)(A^2x-Ax)=0,(A-E)(A^2x+3Ax)=0,把上面三个式子看做矩阵方程，由于向量组x,Ax,A^2x线性无
关所以A^2x+2Ax-3x≠0，A^2x-Ax≠0，A^2x+3Ax≠0，（用到向量线性无关的概念），即上面三个矩
阵方程都有非零解，由于齐次方程有非零解可知|A|=0，|A+3E|=0，|A-E|=0，根据特征向量和特征值
的相关知识可得A的特征值为0，1，-3，所以A+E的特征值为1，2，-2，|A+E|=1×2×(-2)=-4,