Question

如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩

Answer 1

A^2a=Aka=k^2a，因为A^2=A,故A^2a=Aa=ka，(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1。再证，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用。

计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”。

而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》中，“矩阵”作为译名首次出现。

Answer 2

先证其特征值只能为0和1
设k是他的特征值，a为其对应的特征向量
A^2a=Aka=k^2a
因为A^2=A,故A^2a=Aa=ka
(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1

再证，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
因为A(A-E)=0
故n=r(A-(A-E))<=r(A)+r(A-E)<=n
故(A-E)x=0的解空间维数恰为r(A)，那么1的重数>=r(A)
类似的Ax=0的解空间维数恰为r(A-E)，那么0的重数>=r(A-E)
但1的重数加0的重数不大于n，夹逼得1的重数=r(A)

命题成立。