Question

已知函数f(x)=(-2^x+1)/(2^x+1) 判断并证明函数f(x)的单调性

已知函数f(x)=-(2^x+1)/(2^x+1)
(1)判断并证明函数f(x)的单调性
(2)若f(3^(2a+1))＜f((1/3)^4-a)求实数a的取值范围

Answer 1

(1)用f(x+1)-f(x)=2(2^x-2^(x+1))/[(1+2^x)(1+2(x+1))]
分母是正值，分子上2^x<2^(x+1)，所以f(x+1)-f(x)<0，所以f(x+1)<f(x)，所以单调递减
(2)你的问题是不是写错了，后面那个f是不是应该是这个样的：f[((1/3)^（4-a)]？
如果是，那就把不等式变换为f(3^(2a+1))-f[((1/3)^（4-a)]<0,也就是f(3^(2a+1))-f[(3^（a-4)]<0。由于f单调递减，则只要保证3^(2a+1)>3^（a-4)即可，而3的指数为递增函数，所以只要保证2a+1>a-4即可，求之得a>-5

Answer 2

（1）令u=2^x则u>0,原函数等价于g(u)=(-u+1)/(u+1)=-1+2/(u+1),则g(x)在(0,正无穷)区间上为减函数，即f(x)为减函数；
（2）因为在定义域R上f(x)为减函数，所以有3^(2a+1)>(1/3)^4-a),得到a>-5.