Question

数学问题！高手快来帮帮忙！10分钟之内啊！！(图片有一丁点不准，请自己看清）

如图，在三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,角ABC的平分线交AD于E，交AC于F，FG垂直BC于G，连接EG.求证：四边形AEGF是菱形.

Answer 1

证明：∵∠BAC=90º
BF平分∠ABC, AD⊥BC FG⊥BC
∴∠ABF=GBF AD∥GF
∴∠AEF=∠EFG(两直线平行，内错角相等）
在△ABF 和 △GBF中
∠FAB=∠FGB
∠ABF=∠GBF
BF=BF
∴△ABF≌△GBF(AAS)
∴AF=GF
∠AFE=∠EFG
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF
AF=GF=AE
∴四边形AEGF是菱形

追问

谢谢你回答的那么详细！但是请问一下：你是用哪个判定证明它是菱形的呢？就凭三边相等？不对吧。。

追答

有一组邻边相等平行四边形是菱形。

Answer 2

延长GE交AB 于H。角DAC为角1，BAD为角2，GFC为角3，HGB为角4，DEG为角5，HEA为角6.角1加角2为90.角2加角ABD为90.角1等于角ABD。角1等于角3，所以角3等于角ABD。由直角三角形得，角2等于角C。又因为角5等于角6.所以角2等于角4.所以HG平行于AC。易得AD//GH.故AEGF为平行四边形。 易得三角形AHD全等于GDE.所以AE=EG.所以平行四边形为菱形。