Question

罗尔中值定理的证明过程

Answer 1

罗尔（Rolle）中值定理
罗尔中值定理:
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内具有导数,且在区间端点函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零:f’(ξ)=0｡

证:
由于f(x)在闭区间[a,b]上连续,根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,f(x)在闭区间[a,b]上必定最大值M和最小值m｡这样只有两种可能情形:
(1)M=m｡这时f(x)在闭区间[a,b]上必然取相同的数值M;f(x)=M由此f’(x)=0,因此可以取(a,b)内任意一点作为ξ而有f’(ξ)=0｡
(2)M>m｡因为f(a)=f(b),所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(x)在闭区间[a,b]的端点处的函数值,为确定起见,不妨设M≠f(a)(如果m≠f(a),证法完全类似)｡那么必定在开区间(a,b)内有一点ξ使f(ξ)=M｡下面我们证明f(x)在点ξ处的导数等于零,f’(ξ)=0｡
因为ξ是开区间(a,b)内的点根据假设可知f’(ξ)存在,即极限
lim(Δx→0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx
存在｡而极限存在必定左､右极限存在并且相等,因此不论Δx取正值趋于零(Δx→+0),还是取负值趋于零(Δx→-0),比值[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx的极限都存在,它们都等于f’(ξ):
lim(Δx→+0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx=lim(Δx→-0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx
由于f(ξ)=M是f(x)在闭区间[a,b]上最大值,因此不论Δx是正的还是负的,只要ξ+Δx在[a,b]上,总有
f(ξ+Δx)≤f(ξ)
即
f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0
当Δx≥0时,
[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≤0
从而根据函数极限的性质有
lim(Δx→+0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≤0
就是说,右极限不可能是正的
同理Δx<0时
[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≥0
从而
lim(Δx→-0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≥0
就是说,左极限不可能是负的
既然右极限不可能是正的,左极限不可能是负的,而左､右极限又必须相等,那就必然等于零,即
f’(ξ)=0
证毕

罗尔中值定理的几何意义
若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。