Question

过椭圆x^2/4+y^2=1上一点A(2,0)作椭圆的割线,则割线被椭圆截得的弦的中点P的轨迹方程为

Answer 1

设过 A 的椭圆的割线方程为 x=my+2 ，
代入椭圆方程得 (my+2)^2/4+y^2=1 ，
化简得 (m^2+4)y^2+4my=0 ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点为 P（x，y），
则 y1+y2= -4m/(m^2+4) ，y1*y2=0 ，
所以 x1+x2=m(y1+y2)+4=16/(m^2+4) ，
也就是 P 的参数方程为
｛x=(x1+x2)/2= 8/(m^2+4) ，
｛y=(y1+y2)/2= -2m/(m^2+4) ，
（2）/（1）得 y/x= -m/4 ，即 m= -4y/x ，
代入 x=my+2 得 x= -4y^2/x+2 ，
化简得 x^2+4y^2-2x=0 。这就是 P 的轨迹方程。
进一步可化为 (x-1)^2+y^2/(1/4)=1 ，它是椭圆。