Question

线性代数的相关问题？

rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}
即矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵中秩小的那个
一般遇到的是在A方阵情况下，当A可逆时，rank(AB)=rank(B)
更一般的结论：A列满秩时上式就能成立（可逆是列满秩的一个特例）
请大神帮我证明一下吧，谢谢啦！关键是证明那个一般的结论。（我想这个地方的列满秩应该是指列向量组线性无关吧！

Answer 1

这个式子在任何情况都成立，列满秩只是等号成立的条件
AB的行向量是B的行向量的线性组合得到的，很显然，任何一组向量的线性组合不可能增加向量组的秩序，这根据极大线性无关组定义很容易得到
所以r(AB)<=r(B)
同理AB的列向量组是A的列向量组的线性组合，，得到r(AB)<=r(A)
如果A是满秩方阵，显然有
r(B)=r(A'AB) <=r(AB)<=r(B) :其中A'为A的逆矩阵
所以r(B)=r(AB)
考虑矩阵A=
1
0
B=
1 2
3 4
显然r(B)=2, A列满秩，但是r(AB)=1<r(B)，其实不成立
如果A行满秩，倒是成立的，因为对于行满秩矩阵,A可以转换乘一个其行标准型
AB=(E, 0)P B ＝（PB，0）
显然，r(PB)=r(B)
r(AB)= r(PB,0) = r(PB) = r(B)

追问

谢谢你的回答，AB的行向量是B的行向量的线性组合得到的，很显然，任何一组向量的线性组合不可能增加向量组的秩序，这根据极大线性无关组定义很容易得到，你能不能把这句话证明一下啊！用表达式证明，我没看明白啊，谢谢了。
关于你举的例子，A和B相乘，你没发现A的列数不等于B的行数吗，这怎么相乘啊

再次表示感谢

追答

"你能不能把这句话证明一下啊！用表达式证明"，这个不用表达式就已经写这么多了，用表达式会累死人的。如果你不理解，你就多看看吧

值域那个例子，似乎是错误的

追问

1、你说我的说法是错误的，我可以肯定告诉你，它绝对是正确的。
2、你没发现你举的那个例子，矩阵 A，B不能相乘吗。

非常感谢你!

追答

1/2我已经说这是错误得了，你没有看明白我上一个回复

Answer 2

由矩阵乘法定义，设AB=C，则C的列是A的列的线性组合，这意味着C的列秩<=A的列秩，所以R(C)<=R(A)
同理，C的行向量是B的行向量的线性组合，因此有R(C)<=R(B)
综合起来即证。

Answer 3

证明：直接验证可知矩阵AB的列向量组是A的列向量的线性组合，故rank(AB)<=rank(A)；同理，矩阵AB的行向量组是B的行向量的线性组合，故rank(AB)=AB的行秩<=B的行秩=rank(B).
这就证明了你所要的一般性结论。