线性代数的相关问题?
rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}即矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵中秩小的那个一般遇到的是在A方阵情况下,当A可逆时,rank(AB)=rank(...
rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}
即矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵中秩小的那个
一般遇到的是在A方阵情况下,当A可逆时,rank(AB)=rank(B)
更一般的结论:A列满秩时上式就能成立(可逆是列满秩的一个特例)
请大神帮我证明一下吧,谢谢啦!关键是证明那个一般的结论。(我想这个地方的列满秩应该是指列向量组线性无关吧! 展开
即矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵中秩小的那个
一般遇到的是在A方阵情况下,当A可逆时,rank(AB)=rank(B)
更一般的结论:A列满秩时上式就能成立(可逆是列满秩的一个特例)
请大神帮我证明一下吧,谢谢啦!关键是证明那个一般的结论。(我想这个地方的列满秩应该是指列向量组线性无关吧! 展开
3个回答
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这个式子在任何情况都成立,列满秩只是等号成立的条件
AB的行向量是B的行向量的线性组合得到的,很显然,任何一组向量的线性组合不可能增加向量组的秩序,这根据极大线性无关组定义很容易得到
所以r(AB)<=r(B)
同理AB的列向量组是A的列向量组的线性组合,,得到r(AB)<=r(A)
如果A是满秩方阵,显然有
r(B)=r(A'AB) <=r(AB)<=r(B) :其中A'为A的逆矩阵
所以r(B)=r(AB)
考虑矩阵A=
1
0
B=
1 2
3 4
显然r(B)=2, A列满秩,但是r(AB)=1<r(B),其实不成立
如果A行满秩,倒是成立的,因为对于行满秩矩阵,A可以转换乘一个其行标准型
AB=(E, 0)P B =(PB,0)
显然,r(PB)=r(B)
r(AB)= r(PB,0) = r(PB) = r(B)
AB的行向量是B的行向量的线性组合得到的,很显然,任何一组向量的线性组合不可能增加向量组的秩序,这根据极大线性无关组定义很容易得到
所以r(AB)<=r(B)
同理AB的列向量组是A的列向量组的线性组合,,得到r(AB)<=r(A)
如果A是满秩方阵,显然有
r(B)=r(A'AB) <=r(AB)<=r(B) :其中A'为A的逆矩阵
所以r(B)=r(AB)
考虑矩阵A=
1
0
B=
1 2
3 4
显然r(B)=2, A列满秩,但是r(AB)=1<r(B),其实不成立
如果A行满秩,倒是成立的,因为对于行满秩矩阵,A可以转换乘一个其行标准型
AB=(E, 0)P B =(PB,0)
显然,r(PB)=r(B)
r(AB)= r(PB,0) = r(PB) = r(B)
更多追问追答
追问
谢谢你的回答,AB的行向量是B的行向量的线性组合得到的,很显然,任何一组向量的线性组合不可能增加向量组的秩序,这根据极大线性无关组定义很容易得到,你能不能把这句话证明一下啊!用表达式证明,我没看明白啊,谢谢了。
关于你举的例子,A和B相乘,你没发现A的列数不等于B的行数吗,这怎么相乘啊
再次表示感谢
追答
"你能不能把这句话证明一下啊!用表达式证明",这个不用表达式就已经写这么多了,用表达式会累死人的。如果你不理解,你就多看看吧
值域那个例子,似乎是错误的
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由矩阵乘法定义,设AB=C,则C的列是A的列的线性组合,这意味着C的列秩<=A的列秩,所以R(C)<=R(A)
同理,C的行向量是B的行向量的线性组合,因此有R(C)<=R(B)
综合起来即证。
同理,C的行向量是B的行向量的线性组合,因此有R(C)<=R(B)
综合起来即证。
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证明:直接验证可知矩阵AB的列向量组是A的列向量的线性组合,故rank(AB)<=rank(A);同理,矩阵AB的行向量组是B的行向量的线性组合,故rank(AB)=AB的行秩<=B的行秩=rank(B).
这就证明了你所要的一般性结论。
这就证明了你所要的一般性结论。
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