Question

有关数学的问题，老师说我的方法不对，谁帮我看看错在哪儿？

题目：
已知不等式，ax^2+bx+c>0的解集为α<x<β其中β>α>0，则不等式cx^2-bx+a<0的解集是
我答案是x>-1/β或x<-1/α（这是选择题）
答案老师批我对了，但是老师讲解的时候我觉得他那方法太烦，所以下课时就和老师讨论一下我的方法，结果老师没听完就把它否决掉了，为什么也没说，拜托各位大神帮忙看看到底我的方法行不行= =
首先可以得出既然ax^2+bx+c>0 (a≠0) 的解集为α<x<β，那么ax^2+bx+c=0时x1=α，x2=β
那么可以推出ax^2-bx+c=0时，x1=-αx2=-β
又因为β>α>0，所以x^2>0必定成立
那么可以在ax^2-bx+c=0等号两边分别除以x^2，
可得到a-b/x+c/x^2=0，此时设1/x=y
即cy^2-by+a=0
又因为y=1/x，而x1=-α，x2=-β
所以y1=-1/α，y2=-1/β
又因为cy^2-by+a=0式子中的y即对应cx^2-bx+c=0中的x
所以cx^2-bx+a=0中x1=-1/α，x2=-1/β
又因为ax^2+bx+c>0的解集为α<x<β，所以可以得出a<0,而韦达定理游客正αβ=c/a，又因为αβ>0,所以c/a>0,所以c<0
因此在cx^2-bx+a<0式子中，应采用大于大的解，小于小的解，即x>-1/β或x<-1/α
（虽然我力求把推理论证写的相对完美，但是-1/β和-1/α哪个大哪个小就不必多费笔墨了吧）
写得比较详细，比较复杂，但实际上如果在脑子里面转一转，个人认为这方法的确比老师那个好，但被否决实在不知道为什么，求教了，各位。
不知道为什么不能追问了，所以就把某大神的第二个问题在这儿说明一下
2、这个是我自己没有考虑到，那么能不能讨论当x≠0时按我这样做，x=0时cx^2-bx+a<0可直接化解为a<0，而a<0在上述论述中已经证明，所以x=0时也成立？既然x<-1/α，1/a<0则-1/a也必大于0，x小于一个大于0的数，那么可以将x=0也成立直接并到x<-1/α这个解里面，这样应该就差不多了吧

Answer 1

亲，你的解答过程大致看了一遍，个人感觉以下几处有问题：
（1）由方程ax^2+bx+c=0时有2个解x1=α，x2=β，如何能推出ax^2-bx+c=0时，x1=-α，x2=-β？
而且由已知方程ax^2+bx+c=0的解推出方程ax^2-bx+c=0的解还是需要一定步骤的。你这样直接写出来，缺乏依据，阅卷者一时看不明白，自然不会认同。
（2）因为β>α>0，推不出x^2>0必定成立。
试想方程ax^2+bx+c=0有2个正根，即能得出x^2必定大于0吗？至少还可以等于0，题目也没说自变量x不能取0。
既然这一步有问题，以后步骤都是建立在这个基础上，自然都有问题了。

追问

1、ax^2+bx+c=0时有2个解x1=α，x2=β，既然一次项系数变成负的，那么可以知道首先Δ没有变，其次就是x=（-b±4ac）/2a。既然±4ac前面无论怎么加负号，他依旧是±4ac，那么当b变为-b时，自然可以视为x=（-b±4ac）/2a整个变为了x=【-（-b）±（-4ac）】/2a，即整个变为原数的相反数，那么就是从α和β变为了-α和-β

追答

你看，由方程ax^2+bx+c=0时有2个解x1=α，x2=β，推出ax^2-bx+c=0时，也有两个解x1=-α，x2=-β，是需要证明的，不能想当然的认为是那就拿出来直接用了。就好比几何题要你证明两个角相等，而且你也在图上看到了那两个角确实就相等，但不行，你还要证明。数学就是这样，讲究每一步的严谨。
所以，你这种做法不可取，麻烦还容易出错，你还是按照老师教你的方法做吧。

追问

我觉得蛮简单啊，如果是要求写过程，我自然规规矩矩按照传统一点方法写，但是这样的选择题，只要心里面过一遍，觉得还是比老师的方法简单的，更何况，我只是想看看我的方法是否正确。另外，你提出的第二问我放在补充说明里面了，x^2=0的确没考虑到- -

追答

所以 就算第一问你做法正确，但第二问你的确错了哦

追问

那么帮忙看看我第二问这么解决行不行啊？

追答

给你个参考答案 或你直接看老师给你的标准答案吧，你的这种做法不可取。
解解：不等式ax^2+bx+c>0解集为(x|00
所以c>0 ,α+β=-b/a, αβ=c/a
cx^2-bx+a>0,b*b-4ac>0而且c>0,两根积为a/c与上面的结果相比,可知道,本不等式中的两根恰好是不等式ax^2+bx+c>0解集为(x|01/β>0.
所以不等式cx^2-bx+a>0的解集是x>1/α或x0而且c>0,)
这道题关键在于韦达定理的灵活运用.希望你能明白了

Answer 2

没有疑问，方法蛮好，就应该这样做啊

Answer 3

你在运算过程中犯了一个粗心的错误

 

后来怎么变成负的了？

 

追问

注意一次项系数变了

追答

你再将你自己的假体过程看一下，把我标出来的两个地方找到，在你改变X1、X2两个根的符号时，没有任何条件，你就变了。