Question

已知函数f(x)=x+a/x+b,(x≠0), 其中a、b∈ R(1) 若对于任意的 a∈[1/2,2],

不等式f(x) ≤ 10在[1/4，1]上恒成立，求b的取值范围。

Answer 1

你的题目有一定的难度：
(x+a)/(x+b)≤10, ①
因为a∈[1/2,2],x∈[1/4，1] ,
所以，a>0,x>0==>x+a>0
(1)
当x+b<0时，①式恒成立，==》b<-x∈[-1,-1/4]恒成立！所以
b<x(min)=-1
即了b<-1 ②
(2)
当x+b>0时，由①得：
x+a≤10x+10b
10b≥a-9x
{x≥1/4
{x≤1
{a≥1/2
{a≤1
此时就变成了一个线性规划问题，把a当作y 也就是a作为纵坐标，

目标函数为：z=y-9x
( y=a,用y取代a是为了增强可读性的）
10b≥Z恒成立，也就是左边的10b比右边的最大值还要大；

可行域为矩形，最优解为A(1/4,1) C(1,1/2)
Z(A)=1-9/4= - 5/4
Z(C)=1-9/2= - 7/2
Z(MAX)= - 5/4
10b≥ - 5/4
b≥ - 1/8 ③
又因为 b>-x∈[-1,-1/4]恒成立！所以b>-1/4 ④
将③④取交集得：
b>-1/8 ⑤
再将两个答案：②与⑤并起来得：
b∈(-∞,-1)∪(-1/8,+∞)

Answer 2

先讨论a，再讨论x
f(x)=x+a/x+b≤10对a∈[1/2,2]恒成立
∵x>0,∴x+2/x+b≤10对x∈[1/4，1]恒成立
令g(x)=x+2/x+b,g'(x)=1-4/x^2<0对x∈[1/4，1]恒成立
g(x)在[1/4，1]减，∴1/4+2*4+b≤10
得b≤7/4