Question

证明：如果数列收敛，则它的极限是唯一聚点。

Answer 1

1.先证此数列的极限是一个聚点

由极限定义，因为xn收敛到x
令εm=1/2^m>0
所以对于任意εm>0,
总存在Nm,使得当n>Nm时
有|xn-x|<εm
任取δ>0
只需要取m=max{1,log2(1/δ)}+1
就有|xNm-x|<δ
所以x的领域O(x,δ)包含了指标是Nm以后的所有点，有无限个
所以极限x是一个聚点

2.下证唯一性

假设存在除了x以外的另一个聚点y
即x≠y，|x-y|>0

由聚点定义
所以对于任意δ
在领域O(y,δ)中包含数列xn的无穷多个点

因为xn收敛到x
取ε=|x-y|/3>0
δ=|x-y|/3>0
有N,使得当n>N时
|xn-x|<ε

利用三角不等式
|x-y|
=|(x-xn)-(y-xn)|
<=|xn-x|+|xn-y|
因为|xn-x|<ε=|x-y|/3
所以|xn-y|>=|x-y|-|x-y|/3
=2|x-y|/3>|x-y|/3=δ

所以当n>N后，xn都不在y的领域O(y,δ)内。
所以领域O(y,δ)内最多只有有限个xn(个数小于N+1),与y是聚点的定义相矛盾
所以假设错误，即不存在其它聚点。

综上，聚点为极限x，且此极限唯一

Answer 2

设a,b是数列{an}的两个聚点,a0,存在N1,当n>N1时,有:an-aN1.于是:am-a

Answer 3

设a,b是数列{an}的两个聚点,a<b,a是极限.
对£=(b-a)/2>0,存在N1,当n>N1时，有:
an-a<£.因为b是聚点，故b的£邻域内必定有数列an的无穷多个点。由于N1是有限值，因此,b的£邻域必然存在am,m>N1.于是:
am-a<£,-£<am-b
am<a+£=(b+a)/2
am>b-£=(b+a)/2.矛盾。故聚点就是极限。

Answer 4

数列收敛的定义：
若数列{Xn}的极限为a，等价于
对于任意小的量ε，一定存在这样的正整数N，对于任意的n>N 有|Xn-a|<ε
数列收敛的唯一性，即收敛点唯一：
用反证法，若数列{Xn}有两个收敛点a,b，则设d=|a-b|
由数列收敛的定义可以知道，一定存在这样的N，当n>N时，有
|Xn-a|<d/2 |Xn-b|<d/2 同时满足
而d=|a-b|=|(a-Xn)-(b-Xn)|≤|a-Xn|+|b-Xn|<d
也就是退出了d<d的矛盾 所以假设错误，数列收敛点只能唯一

追问

此处聚点指对所有E>0，对所有N，存在n>N，|an-a|<E,(a为极限)