Question

用夹逼定理分别证明两个重要极限

Answer 1

sinx/x→1，（x→0）用夹逼准则来证明，

在单位圆里的第一象限如图

 

 

∠AOB=x  AO=AB=1 

AC=sinx  OC=cosx 弧AB=x   AD=tanx 

注意三个面积

S△AOC<S扇形AOB<S△AOD

S△AOC=AC*OC/2=sinx*cosx/2

S扇形AOB=AB^2*x/2=x/2

S△AOD=AO*AD=tanx/2

sinx*cosx/2<x<tanx/2

sinx*cosx<x<sinx/cosx

cosx<x/sinx<1/cosx

cosx<sinx/x<1/cosx

x→0

cosx→1

1/cosx→1

夹逼定理

sinx/x→1

 

 

 

lim(x→∞)(1+1/x)^x=e

没用夹逼定理

单调有界数列必有极限这个定理证明 (1+1/x)^x有极限

直接计算出e=2.718281828459045……

Answer 2

还是用单位圆来证明第一个，第二个先求单调性然后再利用lim a_n=lima_n+1 计算