高等数学极限问题
问一个问题已知an>0数列第n+1项与第n项当n趋近于无穷时的极限为r且r<1求证an当n趋近于无穷时极限为0...
问一个问题 已知an>0 数列第n+1项与第n项当n趋近于无穷时的极限为r且r<1求证an当n趋近于无穷时极限为0
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应该是数列第n+1项与第n项之比
lima(n+1)/an=r<1
设0<ε<1-r，由极限定义，存在N，当n>N时，
|a(n+1)/an-r|<ε,或：a(n+1)/an-r<ε, a(n+1)/an<r+ε=q,则q<1
an>0，a(n+1)<qan<q^2a(n-1)<q^3a(n-2)<...<q^(n-N)a(N+1)
由于：q^n→0，所以：liman=0
lima(n+1)/an=r<1
设0<ε<1-r，由极限定义，存在N，当n>N时，
|a(n+1)/an-r|<ε,或：a(n+1)/an-r<ε, a(n+1)/an<r+ε=q,则q<1
an>0，a(n+1)<qan<q^2a(n-1)<q^3a(n-2)<...<q^(n-N)a(N+1)
由于：q^n→0，所以：liman=0
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