Question

如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F,G,H分别为AD,BC,BD,EF的中点，求证：GH垂直平分EF

Answer 1

说明：应该E,F,G,H分别为AD,BC,BD，AC的中点吧

证明：因为E,G分别是AD,BD的中点
所以ADE,DG=BG
所以EG‖ AB .EG=1/2AB
同理FH‖AB .FH=1/2AB
所以EG‖ FH ,EG=FH
所以四边形EGFH是平行四边形
因为E,H分别是AD,AC的中点
所以AE=DE,AH=HC
所以EH=1/2DC,
又因为EG=1/2AB.AB=CD
所以EG=EH
所以四边形EGFH是菱形
所以GH垂直平分EF

Answer 2

连接EG.EF,根据题意克制EG，EF分别为三角形ABD和BCD的中位线，所以EG=1/2AB,FG=1/2CD,因为AB=CD所以，EG=FG,所以三角形EFG是等腰三角形，GH是底边的中线，所以也是垂线（三线合一定理），因此GH垂直平分EF。

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Answer 3

证明：连接EG,GF
因为E,F,G分别是AD,BC,BD的中点
所以EG,GF 分别是三角形ADB,DBC的中位线
所以EG‖ AB 且EG=1/2AB
同理FG‖CD 且FG=1/2CD
又：AB=CD
所以EG=FG
因为E,H分别是AD,AC的中点
所以EFG为等腰三角形
又：H为EF的中点（等腰三角形垂直平分线定理）
所以GH垂直平分EF