Question

求大侠帮我证明一道高数题，谢谢啊

设f(x)是[0,1]上的二次可微函数，f(0)=f(1)=0,证明存在c属于（0,1）使得f``(c)[二阶导数]=2f`(c)[一阶倒数]/(1-c)

Answer 1

令F(x)=(1-x)^2*f'(x)，在F(x)在【0,1】上连续，可导，且F(1)=0；
另外，由于f(0)=f(1)=0知道，存在d位于(0,1)，使得f'(d)=0，因此
F(d)=0；在【d，1】上对F用Rolle中值定理得
存在c位于(0,1)，使得F'(c)=0，即
-2(1-c)f'(c)+(1-c)^2*f''(c)=0，因为1-c>0，除以1-c后化简得结论。