Question

求微分方程dy={(y+x)/(x+1)²}dx通解，步骤及答案

Answer 1

求微分方程dy={(y+x)/(x+1)²}dx的通解
解：dy/dx=(y+x)/(x+1)²=y/(x+1)²+x/(x+1)²
dy/dx-y/(x+1)²=x/(x+1)²...........(1)
先求齐次方程 dy/dx-y/(x+1)²=0............(2) 的通解；
分离变量得 dy/y=dx/(x+1)²，积分之得：lny=-1/(x+1)+lnC₁
即(2)的通解为： y=C₁e^[-1/(x+1)]
再用参数变易法，将通解中的C₁换成x的函数u而令y=ue^[-1/(x+1)]...........(3)
将(3)两边对x取导数得：
dy/dx=(du/dx)e^[-1/(x+1)]+{ue^[-1/(x+1)]}/(x+1)²...........(4)
将(3)(4)代入(1)以求u：
(du/dx)e^[-1/(x+1)]+{ue^[-1/(x+1)]}/(x+1)²-{ue^[-1/(x+1)]}/(x+1)²= x/(x+1)²
化简得 (du/dx)e^[-1/(x+1)]=x/(x+1)²
故得du/dx=[x/(x+1)²]e^[1/(x+1)]
于是得u=∫[x/(x+1)²]e^[1/(x+1)]dx=-∫xde^[1/(x+1)]=-xe^[1/(x+1)]+∫e^[1/(x+1)]dx ........(5)
将(5)代入(3)式即得原方程的通解为：
y={-xe^[1/(x+1)]+∫e^[1/(x+1)]dx }e^[-1/(x+1)]=-x+e^[-1/(x+1)]∫e^[1/(x+1)]dx
其中积分∫e^[1/(x+1)]dx 不好求，你自己找本比较全的积分表查一查吧！

Answer 2

通解为y=1+exp(-1/(x+1))*(Ei(1,-1/(x+1))+C1)
我在matlab中解出的，手算太难，而且EI()是化学反应中的，不dong