Question

已知函数f(x)=1/3x^3-a/2x^2,g(x)=1/2x^2-ax+a^2/2

若函数f(x)与g(x)的图像有三个不同的交点，求实数a的取值范围

Answer 1

设h(x)=g(x)-f(x)= 1/2x^2-ax+a^2/2-(1/3x^3-a/2x^2)=(x^3)/6+(ax^2)/2-ax
已知函数f(x)与g(x)的图像有三个不同的交点，则h(x)有三个零点，有极大值和极小值
对h(x)求导有：
h'=(x^2)/2+ax-a
由于h(x)有极大值和极小值，h'=0 即：(x^2)/2+ax-a＝0必有两不相等实根，故判别式>0，即：
a^2+2a>0
a>0或a<-2

Answer 2

令h(x)=f(x)-g(x)=1/3x�0�6-1/2(a+1）x�0�5+ax-a�0�5/2,求导的h`(x)=x�0�5-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)，则易知h(x)的极值点为x=a,x=1,由于有三个交点，则极大值与极小值的乘积小于0，即h(a)×h(1)﹤0，化简得，a�0�6(3a�0�5-3a+1)﹤0,解得a＜0