Question

一道数学题，求解答，好评

Answer 1

（1）解：由题可得F1(0，√2)，F2(0,−√2)，
设P0（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）
则PF1＝(−x0，√2−y0)，
PF2＝(−x0，−√2−y0)
∴PF1•PF2＝(x0)^2 -(2- (y0)^2)=1,
∵点P（x0，y0）在曲线上，则
(x0)^2/2 +(y0)^2/4=1，
∴(x0)^2=[4-(y0)^2]/2，
从而
[4-(y0)^2]/2 -[2-(y0)^2]=1，
得y0＝√2
则点P的坐标为(1，√2)
（2）证明：由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，
设PB的斜率为k（k＞0），
则BP的直线方程为：y−√2＝k(x−1)．
x^2/2 + y^2/4＝1
解方程组得(2+k^2)x^2+2k(√2−k)x+(√2−k)^2−4＝0，
设B（xB，yB），则1+xB＝2k(k−√2)/(2+k^2)，
xB＝2k(k−√2)/(2+k^2) -1=(k^2−2√2k−2)/(2+k^2)，
同理可得xA＝(k^2+2√2k−2)/(2+k^2)，
则xA−xB＝4√2k/(2+k^2)，
yA−yB＝−k(xA−1)−k(xB−1)＝8k/(2+k^2)
所以AB的斜率kAB＝(yA−yB)/(xA−xB)＝√2为定值．
（3）解：设AB的直线方程：y＝√2x+m．
y＝√2x+m
x^2/2 +y^2/4＝1，
得4x^2+2√2mx+m^2−4＝0，
由△＝(2√2m)^2-16(m^2−4)＞0，
得−2√2＜m＜2√2
P到AB的距离为d＝|m|/√3，
则S△PAB＝1/2|AB|•d＝1/2√(4−1/2m^2)•3 •|m|/√3
=√1/8m^2(−m^2+8)≤√1/8[(m^2−m^2+8)/2]^2=√2
当且仅当m＝±2∈(−2√2,2√2)取等号
∴△PAB面积的最大值为√2

Answer 2

过程书写太复杂，打不出来

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