Question

设x₁;.x₂;是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，

设x₁;.x₂;是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，则﹙x₁-2x₂﹚﹙x₂-2x1﹚的最大值为

Answer 1

x²+ax+a-2=0
b²-4ac=a²-4(a-2)=a²-4a+8=(a-2)²+4>0
方程总有两个不等的实数根

根据题意得
x1+x2=-a
x1x2=a-2
∴(x1-2x2)(x2-2x1)
=-2x1²+5x1x2-2x2²
=-2x1²-4x1x2-2x2²+9x1x2
=-2(x1+x2)²+9x1x2
=-2a²+9(a-2)
=-2a²+9a-18
=-2(a²-9a/2+81/16)+81/8-18
=-2(a-9/4)²-63/8
∴有最大值-63/8

Answer 2

x² + ax + a = 2
x² + ax + a - 2 = 0
△ ≥ 0
a² - 4(a - 2) ≥ 0
a² - 4a + 8 ≥ 0
a ∈ R

x1 + x2 = -a
x1 * x2 = a - 2
(x1 - 2x2)(x2 - 2x1)
= x1x2 - 2x1² - 2x2² + 4x1x2
= 9x1x2 - 2(x1 + x2)²
= 9(a - 2) - 2a²
= -2a² + 9a - 18
= -2(a - 9/4)² -63/8
当 a = 9/4 时 , 取最大值 -63/8

所以(x1 - 2x2)(x2 - 2x1) 的最大值 = -63/8