Question

已知lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0, 求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2？

为什么不可以这样解
因为lim x→0 [sin6x/(6x)]=1
所以，
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6+f(x)]/x^2
=0

这哪里错了？

Answer 1

lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
你的这一步是错误的，等价无穷小的替换原则只能是因式乘积时候才可以。举个简单例子
lim x→0 [sinx-x]/x^3，如果按照你的那种做法，显然结果是0。实际上答案是-1/6.
此处应用的是一个很重要的公式——泰勒公式（只展开有限项目，后边的高阶项可视为高阶无穷小）
sinx=x-1/6*x^3.
回到你的这道题，
lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0
也就是 lim[6x-1/6*(6x)^3+xf(x)]/x^3=0
后边可以自己做了吧？希望你能理解等价无穷小的 使用。

追问

如果这样呢 lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0
=lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3
=lim 6x/x^3 +limf(x)]/x^2
=lim [6+f(x)]/x^2

追答

你是这个意思吧：
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6+f(x)]/x^2
。
很显然，这样子也是错误的。错误在于第一步将极限拆分，也就是应用极限的四则运算，此时要严格按照四则运算的前提条件，也就是拆分后两部分的极限都存在。很显然lim sin6x /x^3极限为无穷大，不存在，故不可拆分。希望你能理解极限。

Answer 2

虽然sin6x~x
但是sin6x+xf(x) 和6x+xf(x)并不是等价无穷小。所以
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3

这一步是错的

追问

如果这样呢 由lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0
得=lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3
=lim 6x/x^3 +limf(x)]/x^2
=lim [6+f(x)]/x^2=0

Answer 3

当x=2，a=5,b=0.3时求下面代数式的值

a+b-2x