已知lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0, 求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2?
为什么不可以这样解因为limx→0[sin6x/(6x)]=1所以,limx→0[sin6x+xf(x)]/x^3=limx→0[6x+xf(x)]/x^3=limx→0...
为什么不可以这样解
因为lim x→0 [sin6x/(6x)]=1
所以,
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6+f(x)]/x^2
=0
这哪里错了? 展开
因为lim x→0 [sin6x/(6x)]=1
所以,
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6+f(x)]/x^2
=0
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lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
你的这一步是错误的,等价无穷小的替换原则只能是因式乘积时候才可以。举个简单例子
lim x→0 [sinx-x]/x^3,如果按照你的那种做法,显然结果是0。实际上答案是-1/6.
此处应用的是一个很重要的公式——泰勒公式(只展开有限项目,后边的高阶项可视为高阶无穷小)
sinx=x-1/6*x^3.
回到你的这道题,
lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0
也就是 lim[6x-1/6*(6x)^3+xf(x)]/x^3=0
后边可以自己做了吧?希望你能理解等价无穷小的 使用。
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
你的这一步是错误的,等价无穷小的替换原则只能是因式乘积时候才可以。举个简单例子
lim x→0 [sinx-x]/x^3,如果按照你的那种做法,显然结果是0。实际上答案是-1/6.
此处应用的是一个很重要的公式——泰勒公式(只展开有限项目,后边的高阶项可视为高阶无穷小)
sinx=x-1/6*x^3.
回到你的这道题,
lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0
也就是 lim[6x-1/6*(6x)^3+xf(x)]/x^3=0
后边可以自己做了吧?希望你能理解等价无穷小的 使用。
追问
如果这样呢 lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0
=lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3
=lim 6x/x^3 +limf(x)]/x^2
=lim [6+f(x)]/x^2
追答
你是这个意思吧:
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6+f(x)]/x^2
。
很显然,这样子也是错误的。错误在于第一步将极限拆分,也就是应用极限的四则运算,此时要严格按照四则运算的前提条件,也就是拆分后两部分的极限都存在。很显然lim sin6x /x^3极限为无穷大,不存在,故不可拆分。希望你能理解极限。
2012-10-17
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虽然sin6x~x
但是sin6x+xf(x) 和6x+xf(x)并不是等价无穷小。所以
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
这一步是错的
但是sin6x+xf(x) 和6x+xf(x)并不是等价无穷小。所以
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
这一步是错的
追问
如果这样呢 由lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0
得=lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3
=lim 6x/x^3 +limf(x)]/x^2
=lim [6+f(x)]/x^2=0
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当x=2,a=5,b=0.3时求下面代数式的值
a+b-2x
a+b-2x
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