Question

∫1/√(x^2+1)dx=?

Answer 1

令x = tany，dx = sec²y dy，y∈(- π/2，π/2)
∫ 1/√(1 + x²) dx
= ∫ 1/√(1 + tan²y) * sec²y dy
= ∫ 1/|secy| * sec²y dy
= ∫ secy dy，在y∈(- π/2，π/2)上secy > 0
= ln| secy + tany | + C
= ln| tany + √(1 + tan²y) | + C
= ln| x + √(1 + x²) | + C

Answer 2

本题可用三角代换来做，但是有一个更简单的做法，望你记住，就是用定积分的几何意义。
定积分的几何意义是一个曲边梯形的面积，
y=√（1-x^2) -1<x<1
其实就是上半个单位圆，因此本题结果等于上半个单位圆的面积，也就是π/2

如果需要三角代换的做法，请追问。

Answer 3

令x＝tant
原式＝∫√(1＋tan²t)dt/tant
＝∫sectdt/tant
＝∫dt/sint＝∫sintdt/sin²t
＝－∫d(cost)/(1－cos²t)

Answer 4

∫√（1-x^2)dx -1<x<1
x=sint t=arcsinx
=∫√（1-sin^2t)dsint
=∫√（1-sin^2t)dsint
= ∫cos^2tdt
=∫cos^2t-1+1dt
=∫cos(2t)dt+∫dt
=sin(2t)/2+t+C
=2sintcost+t+C
=2x(1-x^2)^0.5+arcsinx+C

Answer 5

∫√(1-x^2)dx
=x√(1-x^2)+∫x^2dx/√(1-x^2)
=x√(1-x^2)+∫dx/√(1-x^2)-∫√(1-x^2)dx

2∫√(1-x^2)dx=x√(1-x^2)+∫dx/√(1-x^2)
∫√(1-x^2)dx=(1/2)x√(1-x^2)+(1/2)∫dx/√(1-x^2)=(x/2)√(1-x^2)+(1/2)arcsinx+C