Question

怎样证明根号3是无理数

Answer 1

用反证法。假设√3是有理数，则任何一个有理数都可以表示为既约分数m/n（即：m、n为整数，且互质）
因此√3=m/n，得3=m^2/n^2，即m^2=3*n^2，因此m^2含有3的因数，因此m含有3的因数
假设m=3p，则：（3p）^2=3*n^2，得n^2=3p^2,因此n^2含有3的因数，因此n含有3的因数
所以，m、n均含有3的因素，与m、n互为质数矛盾，因此√3是无理数
这是一个通用的证法，可以证明√2、√5、√6等等是无理数。

Answer 2

：假设√3是
。
1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整数，
设√3=p/q ，p和q

把 √3=p/q 两边平方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数，设p=3k
3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍数数，
这与前面假设p，q
矛盾。
因此√3是
。

这是别人的答案

Answer 3

呵，试试看假设√3是有理数，不妨令：
√3＝p/q 其中（p,q）=1
则有，p^2=3q^2
因为(p,q)=1，所以(p^2,q^2)=1
故可得：3|p^2
得：3|p^2
故可设p=3k
由√3＝p/q得√3＝3k/q (k,q)=1
得：q=3k^2
由上，同样可证：3|q^2
因此，3是p^2与q^2的公约数
这与(p,q)=1矛盾。
综上所述，√3为无理数。
注：
(p,q)=1是p,q互质的意思。