Question

常见的极限证明

x-0时 Ln(1+x)~x e^x-1~x (1+x)开n次跟号-1~x/n 见了都会用，但是不会证啊，帮忙证一下

Answer 1

证明：
（1）极限应用
x->0时
lim [Ln（l+x）/x]
x->0(后面为方便书写省略)
=lim{
e^[Ln(1+x)]/
e^x
}
=lim[(1+x)* e^(-x)]
=lim(1+x) * lim[e^(-x)]
=1* 1=1
所以x->0时
[Ln（l+x）/x] ->1
即Ln（l+x）–>x
（2）
同理由（1）的结论可以变形：
即x->0时Ln（l+x）–>x
即x->0时e^[Ln（l+x）] –>e^x
即x->0时e^[Ln（l+x）] –>e^x
即1+x->e^x
即x->e^x-1即e^x-1->x
(3)
同理由（1）的结论可以变形：
即x->0时Ln（l+x）–>x
即x->0时e^[Ln（l+x）] –>e^x
即x->0时e^[Ln（l+x）] –>e^x
即1+x->e^x
即x->e^x-1即e^x-1->x
(3)函数证明：
设F(x)=(1+x)^(1/n)-1-x/n,
即x->0时,lim[(1+x)^(1/n)]=1
Lim(x/n]=0,
所以x->0时,limF(x)=1-1=0
即x->0时, (1+x)^(1/n)-1 -> x/n